Müssen meine Daten (z.B. Adressdaten) im Internet öffentlich einsehbar sein (Whois)?

In der Regel ja. Allgemein wird das von der weltweit übergeordneten Instanz ICANN vorgeschrieben. Zudem wird dies weiterführend von der für die jeweilige Endung (TLD) zuständige Verwaltungsstelle gefordert.
Je nach Endung können die Bedingungen für die Veröffentlichung unterschiedlich sein.

Bei .de-Domains müssen auf jeden Fall gemäß der DENIC-Richtlinien die Adressdaten im Bereich Inhaber (Holder/Owner) und Admin-C veröffentlicht werden. Weitergehend ist es dabei so, dass im Bereich des Admin-Cs auf jeden Fall eine natürliche Person und eine in Deutschland gemeldete Wohn- oder Firmenanschrift eingetragen sein muss.